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上海文科数学试题详解作文 上海文科数学试题详解文案：
2014年普通高等学校招生统一考试上海市
数学试题（文科）详解
满分150分;考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的最小正周期是．
考点：三角恒等变形、三角函数的周期
解答：因为，所以.
难度：容易题
2．若复数，其中是虚数单位，则．
考点：复数的四则运算，共轭运算
解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即
难度：容易题
3．设常数，函数．若，则．
考点：解方程、求函数值
解答：由
难度：容易题
4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．
考点：圆锥曲线的标准方程
解答：知抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为：
难度：容易题
5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．
考点：分层抽样
解答：高一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。
难度：容易题
6．若实数满足，则的最小值为．
考点：基本不等式
解答：，即
难度：容易题
7．若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．
考点：圆锥的侧面展开图
解答：如图：
难度：容易题
8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．
考点：三视图
解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个
长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.
难度：容易题
9．设若是的最小值，则的取值范围为．
考点：函数的单调性及最值
解答：
难度：中等题
10．设无穷等比数列的公比为，若，则．
考点：无穷等比数列各项的和
解答：
难度：中等题
11．若，则满足的的取值范围是．
考点：幂函数的单调性
解答：∴其定义域为
又是增函数，是减函数，是增函数，
又，，即为，
难度：中等题
12．方程在区间上的所有的解的和等于．
考点：三角方程
解答：
难度：中等题
13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是（结果用最简分数表示）．
考点：组合、概率
解答：未来的连续天中随机选择天的所有情况有种；未来的连续天中选择的天恰好为连续天的所有情况有种；则所求概率为
难度：中等题
14．已知曲线，直线．若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为．
考点：圆的方程、能成立问题
解答：∵曲线，即，∵，∴点即为中点；设，∵，则，
∵点在曲线C上，∴
难度：较难题
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设，则“”是“且”的（）
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件
考点：充分条件、必要条件
解答：必要非充分条件，选B
难度：容易题
16．已知互异的复数满足，集合，则（）
(A)(B)(C)(D)
考点：集合的相等、复数范围内1的立方根
解答：⑴若则（舍）；⑵若则，
那么（舍）或（舍）或或
综合上述，.选D
难度：中等题
17．如图，四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（）
(A)(B)(C)(D)
考点：向量的数量积、向量的投影
解答：结合图形，观察在上的投影即可：在上的投影相同；在上的投影相同；在上的投影相同；故的不同值的个数为3，选C
难度：中等题
18．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（）
(A)无论如何，总是无解(B)无论如何，总有唯一解
(C)存在，使之恰有两解(D)存在，使之有无穷多解
考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法
解答：把代入直线得，即.
同理可得.则是方程组的解.
若不是方程组的唯一解，
则方程组有无数解则，与已知矛盾
综上，方程组总有唯一解，选B.
难度：较难题
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积．
考点：棱锥的体积、空间想象能力
解答：依题意：是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体（如图）.
设顶点在底面内的投影为，连接，则
为的重心，底面.
难度：容易题
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设常数，函数．
（1）若，求函数的反函数；
（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
考点：反函数、函数的奇偶性
解答：（1）因为，所以，得或，且．
因此，所求反函数为．
（2）①当时，，定义域为，故函数是偶函数；
②当时，，定义域为，
，故函数为奇函数；
③当且时，定义域为关于原点不对称，
故函数既不是奇函数，也不是偶函数．
难度：容易题
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为．
（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）．
考点：解斜三角形
解答：（1）设，则.因，所以，即，（米）
（2）在中，由已知，，，
由正弦定理得，解得（米）．
在中，由余弦定理得，解得（米）．所以，的长约为26.93米．
难度：中等题
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
在平面直角坐标系中，对于直线和点，记
．若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
（1）求证；点被直线分隔；
（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线．求的方程，并证明轴为曲线的分隔线．
考点：定义法求曲线方程、数形结合思想
解答：
（1）证明：因为，所以点被直线分隔．
（2）解：直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解，即．当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔．故实数的取值范围是．
（3）证明：设的坐标为，则曲线的方程为．
对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点．
又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔．所以轴为曲线的分隔线．
难度：中等题
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
已知数列满足，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；
（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．
考点：等差数列、等比数列与不等式综合
解答：
（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．
（2）设的公比为．由，且，得．
因为，所以．从而，，解得．
时，．所以，的最小值为，时，的公比为．
（3）设数列的公差为．由，得，．
当时，，所以，即．
当时，，符合条件．
③当时，，所以，，又，所以．
综上，的公差的取值范围为．
难度：较难题
上海文科数学试题详解作文 上海文科数学试题详解文案：
高考上海数学试卷（文史类）
考生注意：
1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.
2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设，则不等式的解集为_______.
2．设，其中为虚数单位，则的虚部等于______.
3．已知平行直线，，则与的距离是_____.
4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）.
5．若函数的最大值为5，则常数______.
6．已知点（3,9）在函数的图像上，则的反函数=______.
7．若满足则的最大值为_______.
8．方程在区间上的解为_____.
9．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____.
10．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____.
11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.
12.如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,?1),P是曲线上一个动点，则的取值范围是.
13.设a0,b0.若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是.
14.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的，则k的最大值为.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.设,则“a1”是“a21”的（）
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件
(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件
16.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）
(A)直线AA1(B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C1
17.设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）
(A)1(B)2(C)3(D)4
18.设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为的三个函数.对于命题：①若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）
(A)①和②均为真命题(B)①和②均为假命题
(C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图
（1）求菜地内的分界线C的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判别哪一个更接近于S1面积的“经验值”.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.
（1）若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设若l的斜率存在，且AB=4，求l的斜率.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
对于无穷数列{}与{}，记A={=，}，B={=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列.
（1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；
（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知R，函数=.
（1）当时，解不等式1；
（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；
（3）设0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.A
16.D
17.B
18.D
19.解：（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径．
圆柱的体积，
圆柱的侧面积．
（2）设过点的母线与下底面交于点，则，
所以或其补角为与所成的角．
由长为，可知，
由长为，可知，，
所以异面直线与所成的角的大小为．
20.解：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．
（2）依题意，点的坐标为．
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．
21.解：（1）设．
由题意
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，．
设，，直线．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
由，，得，
故，
解得，故的斜率为．
22.解：（1）因为，，所以，
从而与不是无穷互补数列．
（2）因为，所以．
数列的前项的和为
．
（3）设的公差为，，则．
由，得或．
若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；
若，则，，．
综上，，．
23.解：（1）由，得，
解得．
（2）有且仅有一解，
等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解．
当时，，符合题意；
当时，，．
综上，或．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意
成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为．
上海文科数学试题详解作文 上海文科数学试题详解文案：
2017年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷（满分150分，时间120分钟）
一.填空题（本大题满分分）本大题共有题，题每题分，题每题分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分或分，否则一律得零分.
1.已知集合则.
2.若排列数，则.
3.不等式的解集为.
4.已知球的体积为，则该球主视图的面积为.
5.已知复数满足，则.
6.设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则.
7.如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过
的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的
坐标为，，，则的坐标为.
8.定义在，的函数的反函数为，若函数为奇函数，则方程的解为.
9.给出四个函数：①；②；③；④，从其中任选个，则事件：“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率是.
10.已知数列和，其中，的项是互不相等的正整数，若对于任意，数列中的第项等于中的第项，则.
11.已知，，且满足等式，则的最小值为.
12.如图，用个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合点，过作直线，使得不在上的“”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一
侧的“”的点到的距离之和.若过的直线中有且仅有一条
满足，则中所有这样的为.
二.选择题（本大题满分分）本大题共有题，每题有且只有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得分，否则一律得零分.
13.关于、的二元一次方程组的系数行列式（）
A.B.C.D.
14.在数列中，，，则（）
A.等于B.等于C.等于D.不存在
15.已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得，，成等差数列”的一个必要条件是（）
A.B.C.D.
16.在平面直角坐标系中，已知椭圆和，为上的动点，为上的动点，设为的最大值，记集合，在上，在上，且，则中元素的个数为（）
A.个B.个C.个D.无数个
三.解答题（本大题满分分）本大题共有题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分.
如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边
和的长分别为和，侧棱的长为.
①求直三棱柱的体积；
②若为棱上的中点，求直线与平面所成角的大小.
18.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分.
已知函数，，.
①求函数的单调递增区间；
②在锐角三角形中，角所对的边，角所对的边，若，求的面积.
19.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分.
根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月的共享单车的保有量是前第个月的的累计投放量与累计损失量的差.
①求该地区第个月底的共享单车的保有量；
②已知该地区共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，则该保有量是否超过了此时停放点的单车容纳量.
20.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分.
在平面直角坐标系中，已知椭圆，为的上顶点，是上异于上、下顶点的动点，为轴正半轴上的动点.
①若在第一象限，且，求点的坐标；
②设点，，且、、为顶点的三角形为为直角三角形，求的横坐标；
③若，直线与交于另一点，且，，求直线
的方程.
21.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分.
设定义在上的函数满足：对于任意的，，当时，均有.
①若，求实数的取值范围；
②若为周期函数，求证：为常值函数；
③设恒大于零，是定义在上且恒大于零的周期函数，是的最大值，函数，求证：“是周期函数”的充要条件是“为常值函数”.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷参考答案
一.填空题（本大题满分分）本大题共有题，题每题分，题每题分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分或分，否则一律得零分.
1.，
2.
3.，
4.
5.
6.
7.，，
8.
9.
10.
11.
12.，，
二.选择题（本大题满分分）本大题共有题，每题有且只有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得分，否则一律得零分.
13.C.
14.B.
15.A.
16.D.
三.解答题（本大题满分分）本大题共有题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分.
①
②
18.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分.
①
②
19.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分.
①
②，所以当时，取得最大值，为，此时，所以当取最大值时，停放点不能容纳
20.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分.
①
②，，
③
21.（本题满分分）本题共有个小题，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分.
①
②③略
上海文科数学试题详解作文 上海文科数学试题详解文案：
上海市2019届秋季高考数学考试卷
一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）
1.已知集合，则________.
2.已知且满足，求________.
3.已知向量，，则与的夹角为________.
4.已知二项式，则展开式中含项的系数为________.
5.已知x、y满足，求的最小值为________.
6.已知函数周期为，且当，，则________.
7.若，且，则的最大值为________.
8.已知数列前n项和为，且满足，则______.
9.过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.
10.某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.
11.已知数列满足（），在双曲线上，则_______.
12.已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则__________.
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.已知直线方程的一个方向向量可以是（）
A.B.C.D.
14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）
A.1B.2C.4D.8
15.已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（）
A.B.C.D.
16.已知.
①存在在第一象限，角在第三象限；
②存在在第二象限，角在第四象限；
A.①②均正确；B.①②均错误；C.①对，②错；D.①错，②对；
三.解答题（本大题共5题，共76分）
17.（本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.
（1）求直线与平面的夹角；
（2）求点到平面的距离.
18.（本题满分14分）已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，有零点，求的范围.
19.（本题满分14分）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧.
（1）求长度；
（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）
20.（本题满分16分）
已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.
（1）若AB垂直于轴时，求；
（2）当时，在轴上方时，求的坐标；
（3）若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分）
数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
（1）若，求可能的值；
（2）若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.
上海市2019届秋季高考数学考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）
1.已知集合，则________.
【思路分析】然后根据交集定义得结果．
【解析】：根据交集概念，得出：.
【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.已知且满足，求________.
【思路分析】解复数方程即可求解结果．
【解析】：，.
【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
3.已知向量，，则与的夹角为________.
【思路分析】根据夹角运算公式求解．
【解析】：.
【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．
4.已知二项式，则展开式中含项的系数为________.
【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含项的的项，再求系数．
【解析】：
令，则，系数为.
【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．
5.已知x、y满足，求的最小值为________.
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当，时，
.
【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
6.已知函数周期为，且当，，则________.
【思路分析】直接利用函数周期为1，将转到已知范围内，代入函数解析式即可．
【解析】：.
【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．
7.若，且，则的最大值为________.
【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有的式子求解
【解析】：法一：，∴；
法二：由，（），求二次最值.
【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．
8.已知数列前n项和为，且满足，则______.
【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列.
【解析】：由得：（）
∴为等比数列，且，，∴.
9.过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.
【思路分析】根据等式建立坐标方程求解
【解析】：依题意求得：，，设M坐标
有：，代入有：
即：.
【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
10某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.
【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.
【解析】：法一：（分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字）
法二：（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）
【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．
11.已知数列满足（），在双曲线上，则_______.
【思路分析】利用点在曲线上得到关于n的表达式，再求极限.
【解析】：法一：由得：，∴，
，利用两点间距离公式求解极限。
法二（极限法）：当时，与渐近线平行，在x轴投影为1，渐近线倾斜角满足：，所以.
【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题．
12.已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则__________.
【思路分析】
【解析】：
【归纳与总结】
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.已知直线方程的一个方向向量可以是（）
B.B.C.D.
【思路分析】根据直线的斜率求解.
【解析】：依题意：为直线的一个法向量，∴方向向量为，选D.
【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题．
14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）
B.1B.2C.4D.8
【思路分析】根据直线的斜率求解.
【解析】：依题意：，，选B.
15.已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（）
B.B.C.D.
【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.
【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验的奇偶性，选C；
法二：，若为偶函数，则，且也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴，当时，，选C.
16.已知.
①存在在第一象限，角在第三象限；
②存在在第二象限，角在第四象限；
B.①②均正确；B.①②均错误；C.①对，②错；D.①错，②对；
【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.
【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令和，求看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.
法二：解：……
设，则原式可化为，整理得，
以为主元，则要使方程有解，需使有解，
令，则恒成立
∴函数在上单调递减，又∵
∴存在使，当时
设方程的两根分别为，
当时，，故必有一负根，对；
当时，，故两根均为负根，错；选D.
三.解答题（本大题共5题，共76分）
17.（本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.
（1）求直线与平面的夹角；
（2）求点到平面的距离.
【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平面的法向量求解..
【解析】：（1）依题意：，连接AC，则与平面ABCD所成夹角为；
∵，，∴为等腰直角△，；
∴直线与平面的夹角为.
（2）法一（空间向量）：如图建立坐标系：
则：，，，
，，
∴求平面的法向量：
，得：
A到平面的距离为：
法二（等体积法）：利用求解，求时，需要求出三边长（不是特殊三角形），利用求解.
【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18.（本题满分14分）已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，有零点，求的范围.
【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与值域.
【解析】：（1）当时，；
代入原不等式：；即：
移项通分：，得：；
（2）依题意：在上有解
参编分离：，即求在值域，
在单调递增，；
，故：.
【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化与划归思想的应用．
19.（本题满分14分）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧.
（1）求长度；
（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）
【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形.
【解析】：（1）依题意：，弧BC所在圆的半径
弧BC长度为：km
（2）根据正弦定理：，求得：，
∴
kmCD=36.346km
∴D到海岸线最短距离为35.752km.
【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想的应用．
20.（本题满分16分）
已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.
（1）若AB垂直于轴时，求；
（2）当时，在轴上方时，求的坐标；
（3）若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【思路分析】直接求出A,B坐标；利用三角形面积公式和点在曲线上建立方程；.根据面积关系转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程.
【解析】：（1）依题意：，当AB⊥x轴，则坐标，，
∴
（2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：；
又：，，即
所以A在短轴端点，即
直线（即）方程为：，联立：，得.
法二（常规）：依题意：设坐标，∵（注意：用点更方便计算）
则有：
又A在椭圆上，满足：，即：
∴，解出：，
B点坐标求解方法同法一，.
（3）设坐标直线l：（k不存在时不满足题意）
则：；
；
联立方程：，，韦达定理：
由直线方程：得M纵坐标：；
由直线方程：得N纵坐标：；
若，即
∴，，代入韦达定理：
得：，解出：
∴存在直线或满足题意.
【归纳与总结】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
21.（本题满分18分）
数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
（1）若，求可能的值；
（2）若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.
【思路分析】根据定义式子代入即可求解；通过证明逆否命题证明；去掉具有P性质三项，求和
【解析】：（1）可能的值为3,5,7；
（2）要证明中存在满足性质，
即证明：若数列中不存在满足性质的项，则为等差数列（原命题的逆否命题）
显然
时，，满足性质，不成立；
时，，，
同理时，不成立；时，
所以
以此类推，其中时不成立
只有，即成立，即为等差数列，
即得证明：不为等差数列，中存在满足性质
（3）将数列中具有性质P的三项去掉，形成一个新数列
时，，且中元素满足性质P的项，
根据（2）为等差数列，所以
即
又因为三项去掉和为c，所以
【归纳与总结】本题考查新定义“性质”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
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